S-förmiger Kostenverlauf

Begriffserklärung:
Eine Kostenfunktion stellt (innerhalb der Wirtschaftswissenschaften) eine eindeutige Zuordnung der Kosten K(x) zu einer Bezugsgröße x  dar.
Unsere Bezugsgröße ist meistens die Produktionsmenge in ME (Mengenheiten, z.B. Stück).
Ein s-förmiger Kostenverlauf (zuerst degressiv und nach der Kostenkehre progressiv) lässt sich aus dem Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag herleiten. Die praktische Anwendbarkeit wird allerdings angezweifelt.

Ausgangssituation:

In den Mathematiklehrbüchern werden bei den Aufgaben der Kosten- und Preistheorie häufig Funktionen vorgegeben. Zur Theorie passende Funktionen muss man aber erst einmal finden.
Hier hilft Geogebra: http://www.geogebratube.org/student/m108070
Erklärung zur „Konstruktion“:sfkk_konstruktion

Durch Ziehen an den Punkten kann man die Aufgabenstellungen einfach verändern.
Man kann die Geogebra-Datei für die lokale Verwendung herunterladen: http://www.geogebratube.org/material/download/format/file/id/108070

Aufgaben für die Lösung mit Maxima:

  1. Man bestimme die Kostenfunktion aus den Punkten A,B,C und D.
  2. Man bestimme die Fixkosten.
  3. Man bestimme die Kostenkehre.
  4. Man bestimme das Betriebsoptimum.
  5. Man bestimme die langfristige Preisuntergrenze.

Code:

Ein ungewöhnlicher Programmcode zur Bestimmung der Kostenfunktion:Berechnung von Polynomfunktionen

Wenn in Zeile (1) zwei Punkte gegebenen sind, erhält man eine lineare, bei drei Punkten eine quadratische und bei vier Punkten eine kubische Kostenfunktion. Um die kubische Kostenfunktion geht es beim s-förmigen Kostenverlauf.

Erklärung, wie das Programm Nr. 1 welches nicht nur für kubische, sondern auch für lineare und quadratische Kostenfunkitonen geeignet ist, funktioniert:

  1. Eingabe der gegebenen Punkte in Listenform.
  2. Da zwei, drei oder vier Punkte sinnvoll sein können, muss das Programm prüfen, wie viele Punkte gegeben sind.
  3. Der Grad des Polynoms ist um eins niedriger als die Anzahl der Punkte.
  4. Hier  wird ein raffinierter Ansatz verwendet.
    g(x) ist eine Funktion mit einem Punkt x:[x[1],x[2]] als Argument.
    Die Obergrenze der Summation muss n-1 = Grad und nicht n sein, da sonst der unbestimmte Fall 0^0 auftreten könnte. Dafür einfach a[n] ausserhalb hinzufügen.
  5. Die zwei, drei oder vier Gleichungen werden automatisch mit map erzeugt.
  6. Wie wir in (4) bemerkt haben, sind die unbekannten Koeffizienten nicht a,b,c,… sondern a[1],a[2],…,a[n].
  7. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems wird ermittelt.
  8. Mit Hilfe der Skalarmultiplikation von Vektoren (Listen) wird die Kostenfunktion berechnet und ausgegeben.

Lösungen mit Maxima-Online unter Verwendung eines früheren Programms: http://casmaxima.wordpress.com/2014/04/08/ein-polynom-zur-einer-gegebenen-punkteliste-bestimmen/

  1. http://maxima-online.org/?inc=r-1197448632
  2. http://maxima-online.org/?inc=r-375516577
  3.  http://maxima-online.org/?inc=r-32032642
  4. http://maxima-online.org/?inc=r1686026510
  5. http://maxima-online.org/?inc=r1686026510

Geogebra CAS (nur Kostenfunktion):

s_foermiger_kostenverlauf