Matrizenrechnung (Vorlagen für Maxima on Android)

Grundlagen

Matrizenrechnung SII

Da die geplante Matrizenrechnung zum Schulschluss dem gedrängten Zeitplan zum Opfer gefallen ist, bekommt ihr hier alles, was ihr wissen bzw. können müsst!

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Wir demonstrieren die Matrizenrechnung mit Plänen, die in Maxima Online oder auch mit Maxima on Android verwendet werden können.

Begriffserklärung

Die Matrizenrechnung ist das Rechnen mit Matrizen: Einzahl Matrix, Mehrzahl Matrizen.

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen.

Vertikal wird eine Matrix in Zeilen, horizontal in Spalten eingeteilt.

Eingabe von Matrizen

Beispiele:

Aussenhandel:matrix([0,280,190,370],[280,0,250,460],[450,90,0,500],[50,170,700,0]);
Kilometertabelle:matrix([0,127,359,446],[127,0,234,333],[359,234,0,202],[446,333,202,0]);
Warenhaus:matrix([12,6,5,4,1,9,18],[7,12,9,7,4,8,14],[4,3,6,2,3,1,3],[9,17,5,2,9,4,2]);
Leistungsverflechtung:matrix([0,80,20],[100,0,200],[50,150,80]);

Weitere Beispiele:

A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,3,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];

Operationen

Addition von Matrizen

Beispiele:

Halbjahr1:matrix([12,8,0,20],[7,5,20,10],[14,4,6,15]);
Halbjahr2:matrix([13,12,5,10],[13,7,8,20],[12,8,7,15]);
Jahr:Halbjahr1+Halbjahr2;

A:matrix([1,2],[3,4]);
B:matrix([5,6],[7,8]);
C:A+B;

Eigenschaften der Matrizenaddition

Beispiel:

A:matrix([1,2],[3,4]);
B:matrix([5,6],[7,8]);
C:A+B;
D:B+A;
is(C=D) /* Kommutativgesetz */;
is(A+(B+C)=(A+B)+C) /* Assoziativgesetz */;

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Beispiel:

A:matrix([0,12,8],[6,0,4],[10,2,0]);
A*0.75 /* Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar */;

Skalarprodukt von Vektoren

Beispiel:

Menge:[5,9,2,28,0,10];
Preis:[80,50,90,10,200,70];
Umsatz:Menge.Preis;

Allgemeine Formulierung:

powerdisp:true;
n:5;
a:makelist(a[i],i,1,n);
b:makelist(b[i],i,1,n);
a.b;
sum(a[i]*b[i],i,1,n);

Transponieren von Matrizen

Beispiel:

A:matrix([3,6],[8,7],[4,2]);
AT:matrix([3,8,4],[6,7,2]);
transpose(A);
transpose(AT);
is(AT=transpose(A));
is(A=transpose(AT));

Inverse Matrix

Beispiel:

„“/* Berechung der inversen Matrix */;
A:matrix([1,2],[3,4]);
A^^(-1),numer;
invert(A),numer;


Matrizenmultiplikation

Allgemeine Darstellung:

„“/* MATRIZENMULTIPLIKATION */;
kill(all);
powerdisp:true;
h[i,j]:=a[i,j];
g[i,j]:=b[i,j];
A:genmatrix(h,3,3);
B:genmatrix(g,3,2);
C:A.B;

Umsatzberechnung:

x:matrix([6,3,10]) /* Zeilenvektor */;
p:matrix([300],[800],[3000]) /* Spaltenvektor */;
U:x.p /* Matrizenmultiplikation */

Umsatzberechnung:

x:matrix([6,3,10]) /* Zeilenvektor */;
p:matrix([300],[800],[3000]) /* Spaltenvektor */;
U:x.p /* Matrizenmultiplikation */;

Umfangreichere Berechnung:

kill(all);
powerdisp:true;
A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,1,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];
r:[a,b,c];
d:r.col(A,1);
e:r.col(A,2);
f:r.col(A,3);
z:[d,e,f];
g:z.col(B,1);
h:z.col(B,2),expand;

Kontrollrechnung:

kill(all);
powerdisp:true;
A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,1,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];
r:[a,b,c];
d:r.col(A,1);
e:r.col(A,2);
f:r.col(A,3);
z:[d,e,f];
g:z.col(B,1);
h:z.col(B,2),expand;
A.B;

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

Kein Kommutativgesetz:

M:matrix([3,-2,1],[3,-2,5],[-4,2,-6]) /* Grundmatrix */;
„“/* Beispiele */;
A:3*M+2;
B:-2*M+4;
„“/* Gilt das Kommutativgesetz? */;
is(A.B=B.A);

Assozialtivgesetz und Distributivgesetz:

M:matrix([3,-2,1],[3,-2,5],[-4,2,-6]) /* Grundmatrix */;
„“/* Beispiele */;
A:3*M+2;
B:-2*M+4;
C:5*M;
„“/* Gesetze */;
A.(B.C)=(A.B).C /* Assoziativgesetz */;
(A+B).C=A.C+B.C /* Distributivgesetz */;
A.(B+C)=A.B+A.C /* Distributivgesetz */;

Eine Art Kommutativgesetz:

A:matrix([2,-3,-5],[-1,4,5],[1,-3,-4]);
B:matrix([-2,3,5],[1,-3,-8],[-1,7,5]);
is(transpose(A.B)=transpose(B).transpose(A));
AB:A.B;
LI:transpose(AB);
TA:transpose(A);
TB:transpose(B);
RE:TB.TA;
is(LI=RE);

Existenz eines Nullelements:

A:matrix([2,-3,-5],[-1,4,5],[1,-3,-4]);
B:matrix([-1,3,5],[1,-3,-5],[-1,3,5]);
N:A.B;
A.N;
B.N;

Neutrales Element:

A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,3,0]);
E1:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]);
A.E1;
E1.A;
B:matrix([2,3],[0,2]);
E2:matrix([1,0],[0,1]);
B.E2;
E2.B;

 

Arten

Gleichartige Matrizen

Beispiel:

R:matrix([0,4,3,2],[1,2,3,4]);
S:matrix([0,0,0,0],[1,1,1,1]);
T:matrix([„x“,“a“,“b“,“y“],[„v“,“r“,“s“,“t“]);

Quadratische Matrizen

Beispiele:

A:matrix([0,3,6],[2,4,5],[1,3,2]);
M:matrix([3,4],[6,9]);

Nullmatrizen

Beispiele:

X:matrix([0],[0],[0],[0]);
Y:matrix([0,0,0,0]);
Z:matrix([0,0,0,0],[0,0,0,0]);

Gleiche Matrizen

Beispiele:

A:matrix([1],[2]);
B:matrix([1],[2]);
C:matrix([3,4],[5,6]);
D:matrix([3,4],[5,6]);
is(A=B);
is(C=D);
is(A=C);

Einheitsmatrizen

Beispiele:

E[3]:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]);
E[2]:matrix([1,0],[0,1]);

Über Johnny Weilharter

Direktor i. R. der Bundeshandelsakademie und Bundeshandelssschule in Tamsweg, Österreich
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