Matrizenrechnung – Grundwissen

Grundlagen Matrizenrechnung SII

Da die geplante Matrizenrechnung zum Schulschluss dem gedrängten Zeitplan zum Opfer gefallen ist, bekommt ihr hier alles, was ihr wissen bzw. können müsst!

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Wir demonstrieren die Matrizenrechnung mit Plänen, die in Maxima Online oder auch mit Maxima on Android und in anderen Maxima-Interpretern verwendet werden können.

Begriffserklärung

Die Matrizenrechnung ist das Rechnen mit Matrizen: Einzahl Matrix, Mehrzahl Matrizen.

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen.

Vertikal wird eine Matrix in Zeilen, horizontal in Spalten eingeteilt.

Eingabe von Matrizen

Beispiele:

Aussenhandel:matrix([0,280,190,370],[280,0,250,460],[450,90,0,500],[50,170,700,0]);
Kilometertabelle:matrix([0,127,359,446],[127,0,234,333],[359,234,0,202],[446,333,202,0]);
Warenhaus:matrix([12,6,5,4,1,9,18],[7,12,9,7,4,8,14],[4,3,6,2,3,1,3],[9,17,5,2,9,4,2]);
Leistungsverflechtung:matrix([0,80,20],[100,0,200],[50,150,80]);

Weitere Beispiele:

A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,3,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];

Operationen

Addition von Matrizen

Beispiele:

Halbjahr1:matrix([12,8,0,20],[7,5,20,10],[14,4,6,15]);
Halbjahr2:matrix([13,12,5,10],[13,7,8,20],[12,8,7,15]);
Jahr:Halbjahr1+Halbjahr2;

A:matrix([1,2],[3,4]);
B:matrix([5,6],[7,8]);
C:A+B;

Eigenschaften der Matrizenaddition

Beispiel:

A:matrix([1,2],[3,4]);
B:matrix([5,6],[7,8]);
C:A+B;
D:B+A;
is(C=D) /* Kommutativgesetz */;
is(A+(B+C)=(A+B)+C) /* Assoziativgesetz */;

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Beispiel:

A:matrix([0,12,8],[6,0,4],[10,2,0]);
A*0.75 /* Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar */;

Skalarprodukt von Vektoren

Beispiel:

Menge:[5,9,2,28,0,10];
Preis:[80,50,90,10,200,70];
Umsatz:Menge.Preis;

Allgemeine Formulierung:

powerdisp:true;
n:5;
a:makelist(a[i],i,1,n);
b:makelist(b[i],i,1,n);
a.b;
sum(a[i]*b[i],i,1,n);

Transponieren von Matrizen

Beispiel:

A:matrix([3,6],[8,7],[4,2]);
AT:matrix([3,8,4],[6,7,2]);
transpose(A);
transpose(AT);
is(AT=transpose(A));
is(A=transpose(AT));

Inverse Matrix

Beispiel:

„“/* Berechung der inversen Matrix */;
A:matrix([1,2],[3,4]);
A^^(-1),numer;
invert(A),numer;

 

Matrizenmultiplikation

Allgemeine Darstellung:

„“/* MATRIZENMULTIPLIKATION */;
kill(all);
powerdisp:true;
h[i,j]:=a[i,j];
g[i,j]:=b[i,j];
A:genmatrix(h,3,3);
B:genmatrix(g,3,2);
C:A.B;

Umsatzberechnung:

x:matrix([6,3,10]) /* Zeilenvektor */;
p:matrix([300],[800],[3000]) /* Spaltenvektor */;
U:x.p /* Matrizenmultiplikation */

Umsatzberechnung:

x:matrix([6,3,10]) /* Zeilenvektor */;
p:matrix([300],[800],[3000]) /* Spaltenvektor */;
U:x.p /* Matrizenmultiplikation */;

Umfangreichere Berechnung:

kill(all);
powerdisp:true;
A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,1,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];
r:[a,b,c];
d:r.col(A,1);
e:r.col(A,2);
f:r.col(A,3);
z:[d,e,f];
g:z.col(B,1);
h:z.col(B,2),expand;

Kontrollrechnung:

kill(all);
powerdisp:true;
A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,1,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];
r:[a,b,c];
d:r.col(A,1);
e:r.col(A,2);
f:r.col(A,3);
z:[d,e,f];
g:z.col(B,1);
h:z.col(B,2),expand;
A.B;

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

Kein Kommutativgesetz:

M:matrix([3,-2,1],[3,-2,5],[-4,2,-6]) /* Grundmatrix */;
„“/* Beispiele */;
A:3*M+2;
B:-2*M+4;
„“/* Gilt das Kommutativgesetz? */;
is(A.B=B.A);

Assozialtivgesetz und Distributivgesetz:

M:matrix([3,-2,1],[3,-2,5],[-4,2,-6]) /* Grundmatrix */;
„“/* Beispiele */;
A:3*M+2;
B:-2*M+4;
C:5*M;
„“/* Gesetze */;
A.(B.C)=(A.B).C /* Assoziativgesetz */;
(A+B).C=A.C+B.C /* Distributivgesetz */;
A.(B+C)=A.B+A.C /* Distributivgesetz */;

Eine Art Kommutativgesetz:

A:matrix([2,-3,-5],[-1,4,5],[1,-3,-4]);
B:matrix([-2,3,5],[1,-3,-8],[-1,7,5]);
is(transpose(A.B)=transpose(B).transpose(A));
AB:A.B;
LI:transpose(AB);
TA:transpose(A);
TB:transpose(B);
RE:TB.TA;
is(LI=RE);

Existenz eines Nullelements:

A:matrix([2,-3,-5],[-1,4,5],[1,-3,-4]);
B:matrix([-1,3,5],[1,-3,-5],[-1,3,5]);
N:A.B;
A.N;
B.N;

Neutrales Element:

A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,3,0]);
E1:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]);
A.E1;
E1.A;
B:matrix([2,3],[0,2]);
E2:matrix([1,0],[0,1]);
B.E2;
E2.B;

Arten

Gleichartige Matrizen

Beispiel:

R:matrix([0,4,3,2],[1,2,3,4]);
S:matrix([0,0,0,0],[1,1,1,1]);
T:matrix([„x“,“a“,“b“,“y“],[„v“,“r“,“s“,“t“]);

Quadratische Matrizen

Beispiele:

A:matrix([0,3,6],[2,4,5],[1,3,2]);
M:matrix([3,4],[6,9]);

Nullmatrizen

Beispiele:

X:matrix([0],[0],[0],[0]);
Y:matrix([0,0,0,0]);
Z:matrix([0,0,0,0],[0,0,0,0]);

Gleiche Matrizen

Beispiele:

A:matrix([1],[2]);
B:matrix([1],[2]);
C:matrix([3,4],[5,6]);
D:matrix([3,4],[5,6]);
is(A=B);
is(C=D);
is(A=C);

Einheitsmatrizen

Beispiele:

E[3]:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]);
E[2]:matrix([1,0],[0,1]);