Grundlagen Matrizenrechnung SII
Da die geplante Matrizenrechnung zum Schulschluss dem gedrängten Zeitplan zum Opfer gefallen ist, bekommt ihr hier alles, was ihr wissen bzw. können müsst!
Wir demonstrieren die Matrizenrechnung mit Plänen, die in Maxima Online oder auch mit Maxima on Android und in anderen Maxima-Interpretern verwendet werden können.
Begriffserklärung
Die Matrizenrechnung ist das Rechnen mit Matrizen: Einzahl Matrix, Mehrzahl Matrizen.
Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen.
Vertikal wird eine Matrix in Zeilen, horizontal in Spalten eingeteilt.
Eingabe von Matrizen
Beispiele:
Aussenhandel:matrix([0,280,190,370],[280,0,250,460],[450,90,0,500],[50,170,700,0]);
Kilometertabelle:matrix([0,127,359,446],[127,0,234,333],[359,234,0,202],[446,333,202,0]);
Warenhaus:matrix([12,6,5,4,1,9,18],[7,12,9,7,4,8,14],[4,3,6,2,3,1,3],[9,17,5,2,9,4,2]);
Leistungsverflechtung:matrix([0,80,20],[100,0,200],[50,150,80]);
Weitere Beispiele:
A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,3,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];
Operationen
Addition von Matrizen
Beispiele:
Halbjahr1:matrix([12,8,0,20],[7,5,20,10],[14,4,6,15]);
Halbjahr2:matrix([13,12,5,10],[13,7,8,20],[12,8,7,15]);
Jahr:Halbjahr1+Halbjahr2;
A:matrix([1,2],[3,4]);
B:matrix([5,6],[7,8]);
C:A+B;
Eigenschaften der Matrizenaddition
Beispiel:
A:matrix([1,2],[3,4]);
B:matrix([5,6],[7,8]);
C:A+B;
D:B+A;
is(C=D) /* Kommutativgesetz */;
is(A+(B+C)=(A+B)+C) /* Assoziativgesetz */;
Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
Beispiel:
A:matrix([0,12,8],[6,0,4],[10,2,0]);
A*0.75 /* Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar */;
Skalarprodukt von Vektoren
Beispiel:
Menge:[5,9,2,28,0,10];
Preis:[80,50,90,10,200,70];
Umsatz:Menge.Preis;
Allgemeine Formulierung:
powerdisp:true;
n:5;
a:makelist(a[i],i,1,n);
b:makelist(b[i],i,1,n);
a.b;
sum(a[i]*b[i],i,1,n);
Transponieren von Matrizen
Beispiel:
A:matrix([3,6],[8,7],[4,2]);
AT:matrix([3,8,4],[6,7,2]);
transpose(A);
transpose(AT);
is(AT=transpose(A));
is(A=transpose(AT));
Inverse Matrix
Beispiel:
„“/* Berechung der inversen Matrix */;
A:matrix([1,2],[3,4]);
A^^(-1),numer;
invert(A),numer;
Matrizenmultiplikation
Allgemeine Darstellung:
„“/* MATRIZENMULTIPLIKATION */;
kill(all);
powerdisp:true;
h[i,j]:=a[i,j];
g[i,j]:=b[i,j];
A:genmatrix(h,3,3);
B:genmatrix(g,3,2);
C:A.B;
Umsatzberechnung:
x:matrix([6,3,10]) /* Zeilenvektor */;
p:matrix([300],[800],[3000]) /* Spaltenvektor */;
U:x.p /* Matrizenmultiplikation */
Umsatzberechnung:
x:matrix([6,3,10]) /* Zeilenvektor */;
p:matrix([300],[800],[3000]) /* Spaltenvektor */;
U:x.p /* Matrizenmultiplikation */;
Umfangreichere Berechnung:
kill(all);
powerdisp:true;
A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,1,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];
r:[a,b,c];
d:r.col(A,1);
e:r.col(A,2);
f:r.col(A,3);
z:[d,e,f];
g:z.col(B,1);
h:z.col(B,2),expand;
Kontrollrechnung:
kill(all);
powerdisp:true;
A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,1,0]);
B:matrix([2,3],[0,2],[1,5]);
A[3,2];
B[3,1];
r:[a,b,c];
d:r.col(A,1);
e:r.col(A,2);
f:r.col(A,3);
z:[d,e,f];
g:z.col(B,1);
h:z.col(B,2),expand;
A.B;
Eigenschaften der Matrizenmultiplikation
Kein Kommutativgesetz:
M:matrix([3,-2,1],[3,-2,5],[-4,2,-6]) /* Grundmatrix */;
„“/* Beispiele */;
A:3*M+2;
B:-2*M+4;
„“/* Gilt das Kommutativgesetz? */;
is(A.B=B.A);
Assozialtivgesetz und Distributivgesetz:
M:matrix([3,-2,1],[3,-2,5],[-4,2,-6]) /* Grundmatrix */;
„“/* Beispiele */;
A:3*M+2;
B:-2*M+4;
C:5*M;
„“/* Gesetze */;
A.(B.C)=(A.B).C /* Assoziativgesetz */;
(A+B).C=A.C+B.C /* Distributivgesetz */;
A.(B+C)=A.B+A.C /* Distributivgesetz */;
Eine Art Kommutativgesetz:
A:matrix([2,-3,-5],[-1,4,5],[1,-3,-4]);
B:matrix([-2,3,5],[1,-3,-8],[-1,7,5]);
is(transpose(A.B)=transpose(B).transpose(A));
AB:A.B;
LI:transpose(AB);
TA:transpose(A);
TB:transpose(B);
RE:TB.TA;
is(LI=RE);
Existenz eines Nullelements:
A:matrix([2,-3,-5],[-1,4,5],[1,-3,-4]);
B:matrix([-1,3,5],[1,-3,-5],[-1,3,5]);
N:A.B;
A.N;
B.N;
Neutrales Element:
A:matrix([0,2,0],[0,0,4],[5,3,0]);
E1:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]);
A.E1;
E1.A;
B:matrix([2,3],[0,2]);
E2:matrix([1,0],[0,1]);
B.E2;
E2.B;
Arten
Gleichartige Matrizen
Beispiel:
R:matrix([0,4,3,2],[1,2,3,4]);
S:matrix([0,0,0,0],[1,1,1,1]);
T:matrix([„x“,“a“,“b“,“y“],[„v“,“r“,“s“,“t“]);
Quadratische Matrizen
Beispiele:
A:matrix([0,3,6],[2,4,5],[1,3,2]);
M:matrix([3,4],[6,9]);
Nullmatrizen
Beispiele:
X:matrix([0],[0],[0],[0]);
Y:matrix([0,0,0,0]);
Z:matrix([0,0,0,0],[0,0,0,0]);
Gleiche Matrizen
Beispiele:
A:matrix([1],[2]);
B:matrix([1],[2]);
C:matrix([3,4],[5,6]);
D:matrix([3,4],[5,6]);
is(A=B);
is(C=D);
is(A=C);
Einheitsmatrizen
Beispiele:
E[3]:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]);
E[2]:matrix([1,0],[0,1]);
