Maximaler Umsatz

Aufgabenstellung:

maximaler_Umsatz

Quelle:
http://www.geogebratube.org/book/page/id/82448/chapter_id/243/material_id/82641#243

Programmcode:

A:[0,7];
B:[8,0];
g(x,p):=p=a*x+b;
g1:g(A[1],A[2]);
g2:g(B[1],B[2]);
l:solve([g1,g2],[a,b]);
Nachfrage:g(x,p),l;
p:rhs(Nachfrage);
U:p*x;
ab:diff(U,x);
l:realroots(ab);
xUmax:x,l;
pUmax:p,l;
Umax:U,l;

Erklärung der Programmschritte:

max_ums

  1. Der Punkt A hat die Koordinaten x=0 und p=7. p=7 ist die Preisobergrenze (Höchstpreis), weil die Nachfrage auf x=0 sinkt!
  2. Der Punkt B hat die Koordinaten x=8 und p=0. x=8 ist die Sättigungsmenge, die Nachfrage, die man erzielt, wenn der p=0 ist.
  3. Wir machen einen Ansatz für eine lineare Nachfragefunktion in den Variablen x und p. Das macht das folgende Einsetzen der Punktkoordinaten sehr elegant.
  4. Einsetzen Punkt A.
  5. Einsetzen Punkt B.
  6. Das Gleichungssystem wird nach den Koeffizienten a und b aufgelöst, die sind nämlich unbekannt. l steht für die Lösungsmenge.
  7. Wir setzen die Werte aus der Lösungsmenge ein und erhalten so die Nachfragefunktion.
  8. Der Preis errechnet sich aus der rechten Seite der Nachfragefunktion.
  9. Der Umsatz ist Preis x Menge oder Menge x Preis.
  10. Weil wir das Maximum berechnen wollen, bestimmen wir die erste Ableitung.
  11. Die erste Ableitung muss 0 sein, das istdie notwendige Bedingung. l steht wieder für Lösungsmenge.
  12. Wir berechnen die umsatzmaximale Menge durch Einsetzen.
  13. Wir berechnen den umsatzmaximalen Preis durch Einsetzen.
  14. Wir berechnen den maximalen Umsatz durch Einsetzen.