Aufgabenstellung:
Quelle:
http://www.geogebratube.org/book/page/id/82448/chapter_id/243/material_id/82641#243
Programmcode:
A:[0,7]; B:[8,0]; g(x,p):=p=a*x+b; g1:g(A[1],A[2]); g2:g(B[1],B[2]); l:solve([g1,g2],[a,b]); Nachfrage:g(x,p),l; p:rhs(Nachfrage); U:p*x; ab:diff(U,x); l:realroots(ab); xUmax:x,l; pUmax:p,l; Umax:U,l;
Erklärung der Programmschritte:
- Der Punkt A hat die Koordinaten x=0 und p=7. p=7 ist die Preisobergrenze (Höchstpreis), weil die Nachfrage auf x=0 sinkt!
- Der Punkt B hat die Koordinaten x=8 und p=0. x=8 ist die Sättigungsmenge, die Nachfrage, die man erzielt, wenn der p=0 ist.
- Wir machen einen Ansatz für eine lineare Nachfragefunktion in den Variablen x und p. Das macht das folgende Einsetzen der Punktkoordinaten sehr elegant.
- Einsetzen Punkt A.
- Einsetzen Punkt B.
- Das Gleichungssystem wird nach den Koeffizienten a und b aufgelöst, die sind nämlich unbekannt. l steht für die Lösungsmenge.
- Wir setzen die Werte aus der Lösungsmenge ein und erhalten so die Nachfragefunktion.
- Der Preis errechnet sich aus der rechten Seite der Nachfragefunktion.
- Der Umsatz ist Preis x Menge oder Menge x Preis.
- Weil wir das Maximum berechnen wollen, bestimmen wir die erste Ableitung.
- Die erste Ableitung muss 0 sein, das istdie notwendige Bedingung. l steht wieder für Lösungsmenge.
- Wir berechnen die umsatzmaximale Menge durch Einsetzen.
- Wir berechnen den umsatzmaximalen Preis durch Einsetzen.
- Wir berechnen den maximalen Umsatz durch Einsetzen.